La granota saltarina

Imagina dues granotes vermelles i dues granotes blaves amb una posició buida entre elles. Les granotes es poden moure a la posició buida adjacent i/o saltar sobre una altra granota.
Es poden intercanviar le posicions de les granotes (és a dir, passar les granotes vermelles a la dreta i les blaves a l'esquerra)? I, en cas de poder-ho fer, quin és el mínim nombre de moviments necessari?

Juga, a veure què passa. Modifica el nombre de granotes i segueix jugant.

Pantalla sencera

Si tenim el mateix nombre de granotes de cada color, pots trobar algun patró en la seqüència de moviments necessari per intercanviar les granotes?

Si tenim n granotes a cada banda, quants moviments haurem de fer per intercanviar les granotes?

Ajuda

a_n = (n+1)² -1

Suposem que has trobat la solució per intercanviar les granotes, com ho feim per explicar-ho detalladament a un company?

Una forma, segurament la més simple, és la d'indicar la successió de moviments que feim a partir del color que movem. Per exemple, per a una granota per banda seria:

VBV

 i per a dues seria:

VBBVVBBV

Prova-ho per a tres, quatre...  granotes per banda. Fixa't amb la simetria de moviments. Fixa't com es poden predir els moviments per a un nombre superior de granotes.

Ajuda

VBBVVVBBBVVVBBV
VBBVVVBBBBVVVVBBBBVVVBBV

Una altra forma és codificar les posicions inicials de les granotes, de manera que l'espai buit ocuparà la posició 0, la primera granota de la dreta ocuparà la posició 1, la segona de la dreta la posició 2 i així successivament. Les posicions a l'esquerra de la posició 0 es codificaran com -1, -2... Quan una granota es mou de la posició -1 a la posició 0 anotarem el moviment (-1,0).
Amb dues granotes a cada costat podem codificar el joc de la següent manera: (-1,0), (1,-1), (2,1), (0,2), (-2,0), (-1,-2), (1,-1), (0,1)

Com es codificaria amb tres granotes a cada costat?

Ajuda

(-1,0), (1,-1), (2,1), (0,2), (-2,0), (-3,-2), (-1,3), (1,-1), (3,1), (2,3), (0,2), (-2,0), (-1,-2), (1,-1), (0,1)

I si tenim quatre granotes a cada costat?

Ajuda

(-1,0), (1,-1), (2,1), (0,2), (-2,0), (-3,-2), (-1,3), (1,-1), (3,1), (4,3), (2,4), (0,2), (-2,0), (-4,-2), (-3,-4), (-1,-3), (1,-1), (3,1), (2,3), (0,2), (-2,0), (-1,-2), (1,-1), (0,1)

Si representem aquestes coordenades sobre un sistema d'eixos cartesians observarem una sèrie de propietats i simetries:

Prova-ho per tres i quatre granotes per banda:

Ajuda

Podem, fins i tot, obtenir un patró de com es formen els polígons i del valor de les àrees segons el nombre de granotes:

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

És equilàter el triangle?

Ajuda

La paradoxa dels peixos vermells

Un aquari conté 200 peixos, dels quals el 99% són vermells. Volem aconseguir que només el 98% dels peixos siguin vermells, eliminant només peixos d'aquest color. Quants peixos vermells s'han de treure de l'aquari?

Ajuda

Hi ha 200 peixos i d'ells 198 de vermells. Si en treim 100 de vermells ens quedam amb 100 peixos i d'ells 98 de vermells.

Trencaclosques de Mahlo

Anys després de la mort de Perigal, el matemàtic alemany Paul Mahlo (1883-1971) va plantejar que l'anterior demostració era només un cas particular d'una gran família de disseccions. Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

Trencaclosques de perigal

Henry Perigal (1801-1898) va ser corredor de borsa fins als 87 anys en què es va retirar per dedicar-se més a fons als seus estudis, però durant tota la seva vida va ser un gran aficionat a les matemàtiques i a l'astronomia. La raó per la qual el seu nom s'ha inscrit en el paranimf matemàtic va ser el descobriment, en 1830, d'una dissecció que demostrava geomètricament el teorema de Pitàgores. Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

Cub d'un nombre

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

Multiplicació i volum

Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com